我划艇比赛的成绩（复习题）
一、初等模型
1.2 划艇比赛的成绩（复习题）1.2.1 题目描述1.2.2 问题分析1.2.3 模型假设1.2.4 模型1.2.5 问题求解
1.2 划艇比赛的成绩（复习题）
题目来源:《数学模型》（第五版）–姜启源、谢金星、叶俊
1.2.1 题目描述
已知各种赛艇的比赛成绩和规格 问题 :考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组的成绩好大约5%。
1.2.2 问题分析
船在水中行驶会受到比赛队员划桨浆的推力和水对船的阻力，比赛队员越健壮，队员人数越多，能够给船提供的动力就越大。但同时船和队员的总重量越大，船的浸没面积增大，阻力也会增大。
1.2.3 模型假设
船速
v
v
v是常数，前进时受到的阻力
f
f
f与
s
v
2
sv^2
sv2成正比（
s
s
s是船浸没部分的面积）所有浆手体重都相同，且都为当前重量级的最大体重，记为
w
w
w;在比赛中每个比赛选手的划桨功率
p
p
p保持不变，且
p
p
p与
w
w
w成正比。各种艇的几何形状相同，
l
/
b
l/b
l/b为常数；艇重与浆手数
n
n
n和浆手平均体重
w
w
w成正比。
对于假设1，物理学中本就有
f
∝
v
2
f \propto v^2
f∝v2的情况，对于假设2，
w
,
p
w,p
w,p常数属于必要的简化而
p
p
p与
w
w
w成正比可解释为:
p
p
p与肌肉体积、肺的体积成正比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与体重
w
w
w成正比。
1.2.4 模型
有
n
n
n名浆手的船的总功率
n
p
np
np与阻力
f
f
f和速度
v
v
v的乘机成正比（如果船保持匀速运动的话，单位时间内浆手对船做的功
=
=
=单位时间内阻力做的功）即有
n
p
∝
f
v
np \propto fv
np∝fv由假设1,2可以得到
f
∝
s
v
2
f \propto sv^2
f∝sv2,
p
∝
w
p \propto w
p∝w。 带入式中即可化简得到
n
w
∝
s
v
3
nw \propto sv^3
nw∝sv3由于题目中已经固定艇为8人艇，故
n
=
8
n=8
n=8为常数。故有
v
∝
(
w
s
)
1
3
v\propto (\frac{w}{s})^{\frac{1}{3}}
v∝(sw)31 目前
w
w
w可根据比赛的重量级得出，我们接着对
s
s
s进行分析即可。 由假设3我们可以得到各艇几何形状相同，若艇的浸没面积与艇的特征尺寸
c
c
c的平方成正比（
s
∝
c
2
s \propto c^2
s∝c2）那么则有艇的浸没体积与特征尺寸的立方成正比（
A
∝
c
3
A \propto c^3
A∝c3）则有
s
s
s与
v
v
v的关系
s
∝
A
2
3
s \propto A^{\frac{2}{3}}
s∝A32又可知艇和浆手的总质量
w
’
=
w
0
+
n
w
w^{’} = w_0 + nw
w’=w0+nw因此有
w
’
∝
w
w^{’} \propto w
w’∝w而由阿基米德定律我们可知艇排水体积
A
A
A与总质量
w
′
w^{'}
w′成正比。于是有
A
∝
w
′
∝
w
=
>
s
∝
w
2
3
A\propto w^{'}\propto w=>s\propto w^{\frac{2}{3}}
A∝w′∝w=>s∝w32
v
∝
(
w
s
)
1
3
=
>
v
∝
w
1
9
v\propto (\frac{w}{s})^{\frac{1}{3}} => v\propto w^{\frac{1}{9}}
v∝(sw)31=>v∝w91由于在位移固定的情况下时间
t
t
t与速度
v
v
v成反比，故有
t
∝
w
−
1
9
t \propto w^{-\frac{1}{9}}
t∝w−91因此我们可以建立关系式
t
=
α
∗
w
−
1
9
t = \alpha * w^{-\frac{1}{9}}
t=α∗w−91即为我们的模型。
1.2.5 问题求解
因此我们假设重量级队员重量为
w
1
w_1
w1所用时间为
t
1
t_1
t1,轻量级队员总量为
w
2
w_2
w2所用时间为
t
2
t_2
t2。因此有
t
1
t
2
=
w
1
1
3
w
2
1
3
∗
s
2
1
3
s
1
1
3
\frac{t_1}{t_2} = \frac{w_{1}^{\frac{1}{3}}}{w_{2}^{\frac{1}{3}}}*\frac{s_{2}^{\frac{1}{3}}}{s_{1}^\frac{1}{3}}
t2t1=w231w131∗s131s231 因此带入数值可得
t
1
t
2
=
0.946836089207512
∗
s
2
1
3
s
1
1
3
\frac{t_1}{t_2} = 0.946836089207512*\frac{s_{2}^{\frac{1}{3}}}{s_{1}^\frac{1}{3}}
t2t1=0.946836089207512∗s131s231估计
s
1
/
s
2
s_1/s_2
s1/s2的大小,重量级队伍会更重，但是船体也会相对轻量级队伍更大，，总体来说
s
1
,
s
2
s_1,s_2
s1,s2并不会相差很多。 因此
t
1
t
2
≈
0.946
\frac{t_1}{t_2} \approx 0.946
t2t1≈0.946
